解讀數學學力基本檢測結果及有效因應作為

解讀數學學力基本檢測結果及有效因應作為

翁明達

這是寫給國小第一線教學者的文章

壹、前言

每年寒暑假教學準備日的安排，以及學期中例行的備課討論機制，是因為教學者在教學之前必須針對授課教材先行完備教學思考，並進行許多前期作業，包括階段教學目標的擬訂、單元教學策略的選擇、學習成效檢核的方式、以及各項教學資源的準備，讓「教學」在施行之時，能有效串連孩子的知識學習結構，深化課堂學習品質，展現教師專業素養。

臺北市政府教育局於民國94年首次辦理國小六年級學生國語文學力檢測，並於95年及98年，陸續增加數學領域檢測及英語領抽測；自102年開始，調整檢測對象，辦理國小五年級學生國語文、數學和英語等三個科目學力檢測。除協助掌握學生學習成就趨勢外，亦可提供教師教學回饋及教育局訂定教育政策之參考。

本文即以數學基本學力檢測結果為基，分析探究數學教學脈絡，並建議教師後續可行之教學因應作為，使檢測機制能發揮效益，讓教師更能掌握教學重點與學生學習概況，有效提升學習成效，深化教學專業素養。

貳、數學基本學力檢測命題架構

102年度數學基本能力檢測係以數學內容向度及數學能力作為命題架構。數學內容向度分為「數與量」、「幾何」、「統計與機率」、「代數」四個類別，並採用國際教育成就調查委員會（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement）每四年一個週期所舉辦的數學和科學教育成就趨勢調查專案：Trends in International Mathematics and Science Study（簡稱TIMSS）之數學認知向度，包括知識（Knowing）、應用（Applying）及推理（Reasoning）三類等取代以往的數學能力向度。

一、數學內容向度

在數學內容向度方面是以教育部92年11月公布的九年一貫課程數學領域綱要中一至四年級的能力指標內容作為測驗編製的參考依據。內涵如下：

數學內容	階段能力指標
數與量	N-1-04 能理解除法的意義，解決生活中的問題，並理解整除、商與餘數的概念。 N-1-11 能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識數線，並標記整數值。 N-1-13 能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時或分同單位的加減計算。 N-1-14 能對兩個同類量作直接比較。 N-1-16 能使用日常測量工具進行實測活動，理解其單位和刻度結構，並解決同單位量的比較、加減與簡單整數倍的問題。 N-2-01 能透過位值概念，延伸整數的認識到大數，並作位值單位的換算。 N-2-02 能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。 N-2-03 能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的問題。 N-2-05 能用四捨五入法，對某數在指定位數取概數，並作加、減、乘、除之估算。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 N-2-10 能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。 N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。 N-2-17 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。（S-2-07）
幾何	S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 S-1-05 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分類。 S-2-02 能理解垂直與平行的意義。 S-2-03 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。 S-2-04 能認識平面圖形全等的意義。 S-2-05 能理解旋轉角的意義。
統計與機率	D-1-02 能報讀生活中常見的直接對應（一維）表格。 D-1-03 能報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格。 D-2-01 能認識生活中資料的統計圖。 D-2-02 能報讀較複雜的長條圖。
代數	A-2-01 能在具體情境中，理解乘法結合律、乘法對加法的分配律與其他乘除混合計算之性質，並運用於簡化計算。 A-2-02 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。 A-2-03 能解決用未知數符號列出之單步驟算式填充題。 A-2-04 能使用中文簡記式記錄常用的公式。

二、數學認知向度

數學認知向度參考TIMSS區分為：知識（Knowing）、應用（Applying）及推理（Reasoning）三種。

數學認知	向度	說明
知識	1.回想/回憶	回想定義、術語、數的性質、幾何性質與符號。
	2.辨認	辨認數學物件，例如：形狀、數、量、算式；辨認等價的數學實體（例如：等值分數、小數、百分率，不同方位的簡單幾何圖形）。
	3.計算	進行加減乘除的計算算則或正整數、分數、小數與整數的混合計算；取近似值估算；執行例行的代數運算。
	4.提取/擷取	從圖、表或其他資源所提取的訊息；報讀簡單的刻度。
	5.測量	使用測量工具；選擇適當的測量單位。
	6.分類/排序	依據共同性質對物件、形狀、數和算式進行分類；針對分類的成分做出正確決定；對不同屬性的數字及物件進行排序。
應用	1.選擇	選擇有效/適當的運算、方法或策略以解決問題，這些問題對學生而言，有清楚的程序、算則或解決方法。
	2.表徵	以圖、表或圖形呈現數學的資訊及數據；對給定的數學實體或關係，產生等價的表徵。
	3.樣式/模型	產生適當的樣式(或模型)，比如使用方程式、幾何圖形或圖示以解決例行性的問題。
	4.執行	執行一組數學的說明（例如針對已知條件畫圖形或圖示）。
	5.解例行性的問題	解決與課堂中相似的標準問題，這些問題是熟悉的情境或純數學的。
推理	1.分析	在數學情境中，使用變數或物件描述關係，並由給定的訊息中，進行有效的推論。
	2.一般化/特殊化	擴展數學思維和問題解決結果的範圍，應用於更普遍和更廣泛的結果。
	3.統整/綜合	將不同知識元素、相關的表徵與相關的數學觀念，建立良好的連結。結合數學事實、概念與程序以建立結果，及組合結果產生更進一步的結果。
	4.證明	藉由已知的數學結果或性質，提供證明。
	5.解非例行性的問題	解決純數學的或真實生活情境的問題，而這些問題是學生不太可能遇到的。在不熟悉或複雜的情境中應用數學的事實、概念和程序。

參、數學基本學力檢測結果分析

檢測結果幾乎是臺北市各校不對外公開的祕密，因為這不是要作為學校之間的比較，而是讓各校自行參酌學生學習結果，逕而依據學習結果作為教學規劃的起點思考，並適時進行教學自省與教法調整，以提升教學效度。

所以，本文不談量化數據，只檢視學習問題。筆者探究分析本校檢測結果，略述於下：

1.基礎運算能力不足，包含大數、分數與小數，尤其是四則混合、商為小數的計算，需再加熟練，增加精確性。

2.兩步驟的數學解題及併式記法與解題，其掌握度都需再加強，概念需再釐清。

3.四捨五入的概數估算，未能確切掌握取捨位值，也未能確實瞭解其實質意義。

4.分數的比較與簡單分數的數感，需要再透過具體操作與實物觀察來釐清概念。

5.小數的位名、位值概念不清楚，並與整數的位名有所混淆，需再引導說明。

6.容積、重量、長度等單位彼此間的關係換算，以及相關實測、估測與計算，皆需再引導建構。

7.將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形之學習表現甚差，顯現操作頻率不足，空間概念薄弱。

8.平面圖形全等、旋轉角、垂直、平行等的意義與概念多有認知衝突，需再連結圖像與文字之間的對等概念，釐清概念差異，破除迷思。

9.單步驟算式填充題類化至使用未知數符號的算式時，對於式子與原問題情境間的關係已無法解釋說明，顯見對代數的意涵還需再學習。

10.長方形、正方式的周長與面積計算方法易混淆。

11.三角形中底與高的變化對面積的影響，多數學生概念不清，需重新學習。

12.「數與量」、「幾何」兩主題是現階段學習的主要內容，卻也是成就表現最差的。

13.「統計與機率」主題學習雙峰現象嚴重，學生學習落差大。

肆、數學領域有效教學途徑探究

課程學習必須透過有計畫、有目標、有效能的教學歷程，讓孩子真正學習到課程單元的學習目標，以及有用、串連、具邏輯的知識，這學習才有意義。

然而，數學領域的教學思維並不同於國語文領域的教學思維。

國語科教學可依課程內容的屬性、教學目標的擬訂，適時加重或簡略部分單元教學內容；亦即部分單元可依教師教學專業判斷、教學計畫及教學思維進行識字結構、段落大意、形式探究、內容深究、閱讀理解、觀察寫作、…等選擇性重點教學，在充分的時間內豐厚學習歷程與概念建構。但數學科每一階段的學習都是下一階段概念延伸的基礎，所以必須完整扎根，不能重點取捨。

數學科教材依低中高年段有著不同的學習屬性與教學脈絡，其採取的教學策略與方法也是因教師個殊性而多元多法，但整體而言，數學科的教學必須掌握幾個重要核心概念，才有機會讓學生的學習穩穩的扎根。筆者思維的教學歷程核心概念臚列於下：

一、重視學生課前預習

有質量的數學預習，能讓學生主動思考與促進探索能力，使其先行建構學習基模，縱使有學生不瞭解、不懂也無妨，把問題、疑問留到課堂討論與再學習，這樣的課程對話與教學引導會更有質感，教學與學習效率也能充分提高。而一次又一次的預習與教學結合，孩子的自學能力也會無形中逐漸形塑與建立，對數學的恐懼也會逐漸消散。

二、奠基基礎運算能力

基礎運算基本上是貫穿所有國小數學的教學歷程，意味著計算能力的優劣直接影響到學習成就的表現，也間接影響著孩子學習數學的興趣、態度與習慣。

由於計算是一項技能、一種過程，因此，絕大部分學生都能在循序漸進的引導中學會，重要的是，教師必須提供機會讓孩子練習，並搭配螺旋式的整合複習，讓孩子能充分穩固每一次的運算過程是合理及準確的。

三、即時培養數感能力

知覺數字的意義與了解數字間的關係是數感能力的基礎，對於數字的感覺、使用及解釋，以及知道答案的合理性與偵測出計算錯誤的能力，亦是數感能力的體現。良好的數感，是學習好數學的關鍵要素之一。

培養數感首先要在自然情境中進行有意義的數學活動，讓數字對孩子來說具有和生活連結的意義；其次是提供探索機會，讓孩子在數與量的世界中，有機會透過觀察、比較、分析等概念，嘗試建構自己的數概念；最後則是重視過程中孩子的思維，多讓孩子表達自己的思考邏輯與想法。

數感的培養需要結合具體操作或實物連結的教學過程，讓孩子能充分感知、感應和感受，以逐步形成解決問題的策略，繼而形成良好數感，提升數學素養。

四、營造概念建構對話

協同學習（學習共同體）、合作學習、分組活動、…等教學經營模式，都是提倡學習過程中對話對概念建構的重要性。無論是學生與學生的對話、學生與教師的對話、或是學生與教材的對話，教師都必須積極搭建與促發的學習互動模式。

對話歷程包含傾聽、理解、重整與表達，是最透徹的自我覺察學習方式。每一次的提問、每一次的傾聽、每一次的回應，都是不斷的學習碰撞，讓思維更清晰，讓概念愈明朗。因此，教學歷程中的對話氛圍是教師教學時必須積極關注的。

五、關注孩子起始能力

每個孩子的個殊性是先天與後天的磨合，學習能力與成就自不相同。在齊一的教學體系裡，專業的教師要能適性、順性而教，掌握差異化教學的精神與作法，設計不同的教學目標，規劃不同的作業難度，實施不同的成效評量，讓孩子能在自己的起始點上逐步向前，讓孩子能在學習歷程中建立自信。

六、重視形成診斷評量

隨時掌握孩子的學習概況是有效教學的關鍵因素之一，教師才能據以調整教學方式及實施補救教學，學生也才能瞭解自我學習表現，並調整學習方法與態度。

課堂中的形成與診斷性評量是教學者必須隨時活用的。透過形成性評量，檢視學生學習情形有沒有達到預期目標，如果達到，就提供回饋給學生，並進行預定的接續教學；如果沒達到，再持續診斷以瞭解學生在學習上產生困難的環節，繼而提供團體或個別的補救教學，讓學習基礎能確實扎根。

七、提升評量命題品質

評量的命題需重視相關知識概念的瞭解與活用，而非零碎知識的記憶，也勿一味撿拾課本或習作之題幹，讓學生以記憶方式作答。

好的命題，會注意內容多元、方式多元、歷程多元、標準多元；也會留意是否涵蓋重要概念或能力，避免細瑣枝節之內容，避免機械式的重複。當命題有品質時，教師的教學會更具深度，孩子的學習也會累積更多的思考。

八、落實共同備課對話

備課是教師最基本的教學工作，教師必須透過備課，合理的解讀、組織及運用教材，讓教學目標能確實達成。而共同備課則是集眾人智慧進行專業交流、集思廣益，細緻地討論學習目標、教材教法、概念建構、鷹架延伸、…等教學向度，讓教學者掌握得更精準，使教學及學習成效能更明確落實。

教學者應主動積極參與共同備課對話，過往個人的單打獨鬥，已不足以因應現在課程教材的廣大範圍與教學需求。透過群體合作、專業討話，會讓教學歷程變得更有質感，也讓學習更有深度與樂趣。

伍、結語

數學基本能力檢測的辦理以及結果的分析探究，的確讓學校及教師產生些許壓力，但也更明確地指引了未來可以努力的方向。

當您我願意持續檢視自身的教學素養，以及思考學習如何有效地落實在孩子的身上時，其實，我們已經為了孩子盡了個人最大的努力，也必然無愧於心在這個教育本職工作。